#language it == tour_algebra_it.rst == {{{ Algebra di base e Analisi ========================= Sage sa svolgere diversi calcoli legati all'algebra di base ed all'analisi: per esempio, risoluzione di equazioni, calcolo differenziale ed integrale e trasformate di Laplace. Si veda la documentazione per le "Costruzioni di Sage" per ulteriori esempi. Risoluzione di equazioni ------------------------ La funzione ``solve`` risolve le equazioni. Per usarla, bisogna anzitutto specificare alcune variabili; pertanto gli argomenti di ``solve`` sono un'equazione (od un sistema di equazioni), insieme con le variabili rispetto alle quali risolvere: :: sage: x = var('x') sage: solve(x^2 + 3*x + 2, x) [x == -2, x == -1] Si possono risolvere le equazioni rispetto ad una variabile in funzione delle altre: :: sage: x, b, c = var('x b c') sage: solve([x^2 + b*x + c == 0],x) [x == (-sqrt(b^2 - 4*c) - b)/2, x == (sqrt(b^2 - 4*c) - b)/2] Si può anche risolvere rispetto a diverse variabili: :: sage: x, y = var('x, y') sage: solve([x+y==6, x-y==4], x, y) [[x == 5, y == 1]] Il seguente esempio dell'uso di Sage per risolvere un sistema di equazioni non lineari è stato fornito da Jason Grout: per prima cosa, si risolve il sistema simbolicamente: :: sage: var('x y p q') (x, y, p, q) sage: eq1 = p+q==9 sage: eq2 = q*y+p*x==-6 sage: eq3 = q*y^2+p*x^2==24 sage: solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y) [[p == 1, q == 8, x == (-4*sqrt(10) - 2)/3, y == (sqrt(2)*sqrt(5) - 4)/6], [p == 1, q == 8, x == (4*sqrt(10) - 2)/3, y == (-sqrt(2)*sqrt(5) - 4)/6]] Per una soluzione numerica, si può invece usare: .. link :: sage: solns = solve([eq1,eq2,eq3,p==1],p,q,x,y, solution_dict=True) sage: [[s[p].n(30), s[q].n(30), s[x].n(30), s[y].n(30)] for s in solns] [[1.0000000, 8.0000000, -4.8830369, -0.13962039], [1.0000000, 8.0000000, 3.5497035, -1.1937129]] (La funzione ``n`` scrive un'approssimazione numerica, e l'argomento è il numero di bit di precisione.) Differenziazione, Integrazione, etc. ------------------------------------ Sage è in grado di differenziae ed integrare molte funzioni. Per esempio, per differenziare :math:`\sin(u)` rispetto a :math:`u`, si procede come nelle righe seguenti: :: sage: u = var('u') sage: diff(sin(u), u) cos(u) Per calcolare la derivata quarta di :math:`\sin(x^2)`: :: sage: diff(sin(x^2), x, 4) 16*x^4*sin(x^2) - 12*sin(x^2) - 48*x^2*cos(x^2) Per calcolare le derivate parziali di :math:`x^2+17y^2` rispetto a *x* e *y*, rispettivamente: :: sage: x, y = var('x,y') sage: f = x^2 + 17*y^2 sage: f.diff(x) 2*x sage: f.diff(y) 34*y Passiamo agli integrali, sia indefiniti che definiti. Per calcolare :math:`\int x\sin(x^2)\, dx` e :math:`\int_0^1 \frac{x}{x^2+1}\, dx` :: sage: integral(x*sin(x^2), x) -cos(x^2)/2 sage: integral(x/(x^2+1), x, 0, 1) log(2)/2 Per calcolare la decomposizione in frazioni parziali di :math:`\frac{1}{x^2-1}`: :: sage: f = 1/((1+x)*(x-1)) sage: f.partial_fraction(x) 1/(2*(x - 1)) - 1/(2*(x + 1)) sage: print f.partial_fraction(x) 1 1 --------- - --------- 2 (x - 1) 2 (x + 1) .. _section-systems: Risoluzione di Equazioni Differenziali -------------------------------------- Si può usare Sage per studiare le equazioni differenziali ordinarie. Per risolvere l'equazione :math:`x'+x-1=0`: :: sage: t = var('t') # definisce una variabile t sage: x = function('x',t) # definisce x come funzione di quella variabile sage: DE = lambda y: diff(y,t) + y - 1 sage: desolve(DE(x(t)), [x,t]) '%e^-t*(%e^t+%c)' Questo metodo utilizza l'interfaccia di Sage per Maxima [Max]_, e così il suo output può essere leggermente diverso dagli altri output di Sage. In questo caso, risulta che la soluzione generale dell'equazione differenziale è :math:`x(t) = e^{-t}(e^{t}+c)`. Si può anche calcolare la trasformata di Laplace; la trasformata di Laplace di :math:`t^2e^t -\sin(t)` è calcolata come segue: :: sage: s = var("s") sage: t = var("t") sage: f = t^2*exp(t) - sin(t) sage: f.laplace(t,s) 2/(s - 1)^3 - 1/(s^2 + 1) Il successivo è un esempio più articolato. Lo scostamento dall'equilibrio (rispettivamente) per due molle accoppiate fissate ad un muro a sinistra :: |------\/\/\/\/\---|massa1|----\/\/\/\/\/----|massa2| molla1 molla2 è modellizzato dal sistema di equazioni differenziali del secondo ordine .. math:: m_1 x_1'' + (k_1+k_2) x_1 - k_2 x_2 = 0 m_2 x_2''+ k_2 (x_2-x_1) = 0, dove :math:`m_{i}` è la massa dell'oggetto *i*, :math:`x_{i}` è lo scostamento dall'equilibrio della massa *i*, e :math:`k_{i}` è la costante elastica della molla *i*. **Esempio:** Usare Sage per risolvere il problema precedente con :math:`m_{1}=2`, :math:`m_{2}=1`, :math:`k_{1}=4`, :math:`k_{2}=2`, :math:`x_{1}(0)=3`, :math:`x_{1}'(0)=0`, :math:`x_{2}(0)=3`, :math:`x_{2}'(0)=0`. Soluzione: Calcolare la trasformata di Laplace della prima equazione (con la notazione :math:`x=x_{1}`, :math:`y=x_{2}`: :: sage: de1 = maxima("2*diff(x(t),t, 2) + 6*x(t) - 2*y(t)") sage: lde1 = de1.laplace("t","s"); lde1 2*(-?%at('diff(x(t),t,1),t=0)+s^2*?%laplace(x(t),t,s)-x(0)*s)-2*?%laplace(y(t),t,s)+6*?%laplace(x(t),t,s) Questo è di difficile lettura, ma dice che .. math:: -2x'(0) + 2s^2*X(s) - 2sx(0) - 2Y(s) + 6X(s) = 0 (dove la trasformata di Laplace di una funzione in minuscolo come :math:`x(t)` è la funzione in maiuscolo :math:`X(s)`). Calcolare la trasformata di Laplace della seconda equazione: :: sage: de2 = maxima("diff(y(t),t, 2) + 2*y(t) - 2*x(t)") sage: lde2 = de2.laplace("t","s"); lde2 -?%at('diff(y(t),t,1),t=0)+s^2*?%laplace(y(t),t,s)+2*?%laplace(y(t),t,s)-2*?%laplace(x(t),t,s)-y(0)*s che significa .. math:: -Y'(0) + s^2Y(s) + 2Y(s) - 2X(s) - sy(0) = 0. Imporre le condizioni iniziali per :math:`x(0)`, :math:`x'(0)`, :math:`y(0)`, e :math:`y'(0)`, e risolvere le due equazioni risultanti: :: sage: var('s X Y') (s, X, Y) sage: eqns = [(2*s^2+6)*X-2*Y == 6*s, -2*X +(s^2+2)*Y == 3*s] sage: solve(eqns, X,Y) [[X == (3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4), Y == (3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4)]] Ora si calcola la trasformata inversa di Laplace per ottenere la risposta: :: sage: var('s t') (s, t) sage: inverse_laplace((3*s^3 + 9*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t) cos(2*t) + 2*cos(t) sage: inverse_laplace((3*s^3 + 15*s)/(s^4 + 5*s^2 + 4),s,t) 4*cos(t) - cos(2*t) Pertanto, la soluzione è .. math:: x_1(t) = \cos(2t) + 2\cos(t), \quad x_2(t) = 4\cos(t) - \cos(2t). Essa può essere disegnata in forma parametrica usando :: sage: t = var('t') sage: P = parametric_plot((cos(2*t) + 2*cos(t), 4*cos(t) - cos(2*t) ),\ ... 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.9)) sage: show(P) Le singole componenti possono essere tracciate usando: :: sage: t = var('t') sage: p1 = plot(cos(2*t) + 2*cos(t), 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.3)) sage: p2 = plot(4*cos(t) - cos(2*t), 0, 2*pi, rgbcolor=hue(0.6)) sage: show(p1 + p2) (Per ulteriori informazioni sul disegno di funzioni, si veda :ref:`section-plot`.) BIBLIOGRAFIA: Nagle, Saff, Snider, Fundamentals of Differential Equations, 6th ed, Addison-Wesley, 2004. (si veda § 5.5). Metodo di Eulero per i sistemi di equazioni differenziali --------------------------------------------------------- Nel prossimo esempio, si illustrerà il metodo di Eulero per le ODE di primo e secondo ordine. Per prima cosa ricordiamo l'idea di base per le equazioni di primo ordine. Dato un problema di Cauchy della forma .. math:: y'=f(x,y) y(a)=c si vuole trovare il valore approssimato della soluzione a :math:`x=b` con :math:`b>a`. Ricordando dalla definizione di derivata che .. math:: y'(x) \approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h}, dove :math:`h>0` è dato e piccolo. Questo e la DE insieme danno give :math:`f(x,y(x))\approx \frac{y(x+h)-y(x)}{h}`. Ora si risolve per :math:`y(x+h)`: .. math:: y(x+h) \approx y(x) + h*f(x,y(x)). Se chiamiamo :math:`h f(x,y(x))` il "termine di correzione" (per mancanza di un termine migliore), :math:`y(x)` il "vecchio valore di *y*", e :math:`y(x+h)` il "nuovo valore di *y*", allora questa approssimazione può essere espressa come .. math:: y_{new} \approx y_{old} + h*f(x,y_{old}). Se si spezza l'intervallo da *a* a *b* in *n* intervalli, dimodoché :math:`h=\frac{b-a}{n}`, allora si possono registrare le informazioni per questo metodo in una tabella. ============== ================== ================ :math:`x` :math:`y` :math:`hf(x,y)` ============== ================== ================ :math:`a` :math:`c` :math:`hf(a,c)` :math:`a+h` :math:`c+hf(a,c)` ... :math:`a+2h` ... ... :math:`b=a+nh` ??? ... ============== ================== ================ L'obiettivo è riempire tutti gli spazi vuoti della tavella, una riga alla volta, finché si arriva al valore ???, che è il metodo di approssimazione di Eulero per :math:`y(b)`. L'idea per sistemi di ODE è simile. **Esempio:** Si approssimi numericamente :math:`z(t)` a :math:`t=1` usando 4 passi del metodo di Eulero, dove :math:`z''+tz'+z=0`, :math:`z(0)=1`, :math:`z'(0)=0`. Si deve ridurre l'ODE di secondo ordine ad un sistema di due equazioni del primo ordine (usando :math:`x=z`, :math:`y=z'`) ed applicare il metodo di Eulero: :: sage: t,x,y = PolynomialRing(RealField(10),3,"txy").gens() sage: f = y; g = -x - y * t sage: eulers_method_2x2(f,g, 0, 1, 0, 1/4, 1) t x h*f(t,x,y) y h*g(t,x,y) 0 1 0.00 0 -0.25 1/4 1.0 -0.062 -0.25 -0.23 1/2 0.94 -0.12 -0.48 -0.17 3/4 0.82 -0.16 -0.66 -0.081 1 0.65 -0.18 -0.74 0.022 Pertanto, :math:`z(1)\approx 0.75`. Si possono anche tracciare i punti :math:`(x,y)` per ottenere un grafico approssimato della curva. La funzione ``eulers_method_2x2_plot`` svolge questa funzione; per usarla, bisogna definire le funzioni *f* e *g* che prendono on argomento con tre coordinate: (*t*, *x*, *y*). :: sage: f = lambda z: z[2] # f(t,x,y) = y sage: g = lambda z: -sin(z[1]) # g(t,x,y) = -sin(x) sage: P = eulers_method_2x2_plot(f,g, 0.0, 0.75, 0.0, 0.1, 1.0) A questo punto, ``P`` ha in memoria due grafici: ``P[0]``, il grafico di *x* vs. *t*, e ``P[1]``, il grafico di *y* vs. *t*. Si possono tracciare entrambi come mostrato qui in seguito: .. link :: sage: show(P[0] + P[1]) (Per ulteriori informazioni sul disegno di grafici, si veda :ref:`section-plot`.) Funzioni speciali ----------------- Sono implementati diversi polinomi ortogonali e funzioni speciali, usando sia PARI [GAP]_ che Maxima [Max]_. Essi sono documentati nelle sezioni apposite ("Polinomi ortogonali" e "Funzioni speciali", rispettivamente) del manuale di Sage. :: sage: x = polygen(QQ, 'x') sage: chebyshev_U(2,x) 4*x^2 - 1 sage: bessel_I(1,1,"pari",250) 0.56515910399248502720769602760986330732889962162109200948029448947925564096 sage: bessel_I(1,1) 0.565159103992485 sage: bessel_I(2,1.1,"maxima") # le ultime poche cifre sono casuali 0.16708949925104899 A questo punto, Sage ha soltanto incorporato queste funzioni per l'uso numerico. Per l'uso simbolico, si usi direttamente l'intefaccia di Maxima, come nell'esempio seguente: :: sage: maxima.eval("f:bessel_y(v, w)") '?%bessel_y(v,w)' sage: maxima.eval("diff(f,w)") '(?%bessel_y(v-1,w)-?%bessel_y(v+1,w))/2' .. [GAP] (en) The GAP Group, ``GAP - Groups, Algorithms, and Programming``, http://www.gap-system.org .. [Max] (en) Maxima, http://maxima.sf.net/ }}} == rst file == <> <>