% !TEX encoding = IsoLatin
% !TEX TS-program = pdflatex

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%                                               %
% DOCUMENTO: VisitaSAGE.tex                     %
%                                               %
% UNA VISITA R\'APIDA A SAGE                    %
%                                               %
% Juan Luis Varona,                             %
% Dpto. de Matem\'aticas y Computaci\'on,       %
% Universidad de La Rioja,                      %
% 26004 Logro\~no, SPAIN                        %
%                                               %
% http://www.unirioja.es/cu/jvarona/            %
% jvarona@unirioja.es                           %
%                                               %
% Comienzo de escritura: 1-junio-2009           %
% \'Ultima versi\'on: 8-febrero-2010            %
%                                               %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Copyright (C) 2010 J. L. Varona                                       %
% GNU Free Documentation License                                        %
%                                                                       %
% Esta documentaci\'on es libre y puede redistribuirse bajo             %
% las condiciones de la Free Documentation License de GNU.              %
%                                                                       %
% Copyright (C) 2010 Juan Luis Varona                                   %
% Permission is granted to copy, distribute and/or modify this document %
% under the terms of the GNU Free Documentation License, Version 1.3    %
% or any later version published by the Free Software Foundation.       %
% http://www.gnu.org/copyleft/fdl.html                                  %
%                                                                       %
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%% NOTA:                                                      %
%%%%%%% Todo esto funciona, al menos, con Sage 4.3.1               %
%%%%%%% Es posible que, con otras versiones, haya problemas.       %
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\documentclass[a4paper,twocolumn,8pt]{amsart}


\usepackage{geometry}
\geometry{pdftex,
  twoside,
  a4paper,
  paperheight = 21.0cm, 
  paperwidth = 29.7cm, % Ya no hay que poner "landscape"
  columnsep = 1.0cm, % Ya no hay que poner "landscape"
  marginparwidth = 0cm,
  top = 1.2cm,
  bottom = 1.2cm,
  left = 1.1cm,
  right = 1.1cm,
  centering
}

%% OPCIÓN ORIGINAL 8pt EN amsart.cls:
%\DeclareOption{8pt}{\def\@mainsize{8}\def\@ptsize{8}%
%  \def\@typesizes{%
%    \or{5}{6}\or{5}{6}\or{5}{6}\or{6}{7}\or{7}{8}%
%    \or{8}{10}% normalsize
%    \or{9}{11}\or{10}{12}\or{\@xipt}{13}%
%    \or{\@xiipt}{14}\or{\@xivpt}{17}}%
%  \normalsize \linespacing=\baselineskip
%}
%% REDEFINO 8pt PARA QUE SEA AUN MÁS PEQUEÑO:
\makeatletter
\def\@mainsize{7}\def\@ptsize{7}%
  \def\@typesizes{%
    \or{5}{6}\or{5}{6}\or{5}{6}\or{5}{6}\or{6}{7}%
    \or{7}{9}% normalsize
    \or{8}{10}\or{9}{11}\or{10}{12}%
    \or{\@xipt}{13}\or{\@xivpt}{17}}%
  \normalsize \linespacing=\baselineskip
\makeatother

\nofiles % .aux is not necessary

\sloppy
\pagestyle{empty}

\usepackage[latin1]{inputenc}  %%%% latin1 en un PC; applemac en un Mac
\usepackage[spanish]{babel}

%%% LAS COMILLAS "DE CÓDIGO" SE IDENTIFICAN MUCHO MEJOR COMO COMILLAS:
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}

% NO LO USO (pues "a mano" ahorro espacio):
\title{UNA VISITA R\'APIDA A SAGE}
\author{Juan Luis Varona}
\date{8 de febrero de 2010}

\begin{document}
\thispagestyle{empty}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\vspace*{-4mm}
%\maketitle
%\thispagestyle{empty}
%\vspace*{-3mm}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{center}
\Large\bfseries UNA VISITA R\'APIDA A SAGE\\[1mm]
\large\normalfont Juan Luis Varona (8 - febrero - 2010)\\
\normalfont
Sage Version 4.3.1\\ 
\texttt{http://wiki.sagemath.org/quickref}\\ 
GNU Free Document License
\medskip
\end{center}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

Sage (\texttt{http://www.sagemath.org}) 
es un entorno de cálculos matemáticos de código abierto que,
gracias a los diversos programas que incorpora, permite 
llevar a cabo cálculos algebraicos, simbólicos y numéricos.
El objetivo de Sage es crear una alternativa libre y viable a
Magma, Maple, Mathematica y Matlab, todos ellos potentes
(y muy caros) programas comerciales.

Sage sirve como calculadora simbólica de precisión arbitraria, pero
también puede efectuar cálculos y resolver problemas
usando métodos numéricos (es decir, de manera aproximada).
Para todo ello emplea algoritmos que tiene implementados él mismo
o que toma prestados de alguno de los programas que incorpora,
como Maxima, NTL, GAP, Pari/gp, R y Singular.
Y~para llevar a cabo algunas tareas puede utilizar paquetes
especializados opcionales.
Incluye un lenguaje de programación propio, que es una extensión 
de Python (Sage mismo está escrito en Python); es muy recomendable
conocer Python para hacer un uso avanzado de Sage.

Sage no sólo consta del programa en sí mismo, que efectúa 
los cálculos, y con el que podemos comunicarnos a través de
terminal, sino que incorpora un interfaz gráfico de usuario 
a través de cualquier navegador web;
para representar las fórmulas y expresiones matemáticas utiliza jsMath, 
una implementación de \LaTeX\ por medio de JavaScript.
Sin necesidad de descargarlo e instalarlo en nuestro ordenador,
podemos utilizar Sage en \texttt{http://www.sagenb.org}.
Pero no nos preocupemos de ello; simplemente,
¡echemos un vistazo a su sintaxis y su funcionamiento!

\begin{enumerate}
% Por defecto en amsart: \itemsep=0.0pt

\item Uso como calculadora:
\begin{verbatim}
5+4/3
\end{verbatim}

\item Sage utiliza paréntesis \verb|( )| para agrupar:
\begin{verbatim}
(5+4)/3
\end{verbatim}

\item Y también los usa como argumentos de funciones:
\begin{verbatim}
cos(0)
\end{verbatim}

\item Corchetes \verb|[ ]| para formar listas (con sus elementos
separados por comas):
\begin{verbatim}
v = [3,4,-6]      # Alternativa:  v = vector([3,4,-6])  
\end{verbatim}

\item También corchetes para acceder a elementos de listas (enumera contando desde~$0$, como en C y en Python):
\begin{verbatim}
v[2]
\end{verbatim}

\item Como calculadora, Sage proporciona resultados exactos:
\begin{verbatim}
3^100             # Se usa ** o ^ para elevar a una potencia
factorial(1000)
\end{verbatim}

\item Sin embargo, no ocurre así si alguno de los números involucrados
en el cálculo tiene decimales (la parte que sigue al \verb|#| es un comentario):
\begin{verbatim}
3.0^100      # 3.0 es un número real, no un entero. 
\end{verbatim}

\item También efectúa cálculos exactos cuando aparecen funciones:
\begin{verbatim}
arctan(1)
\end{verbatim}

\item Con los comandos \verb|n| o \verb|N| conseguimos aproximaciones numéricas
(ambos comandos son alias de \verb|numerical_approx|).
El símbolo \verb|_| alude al último resultado obtenido:
\begin{verbatim}
N(_)
\end{verbatim}

\item Estas aproximaciones pueden tener la precisión que deseemos.
Por ejemplo, evaluemos $\sqrt{10}$ con $50$ cifras exactas:
\begin{verbatim}
N(sqrt(10), digits=50)
sqrt(10).n(digits=50)
N(sqrt(10), 170)      # Significa bits de precisión, no dígitos
\end{verbatim}

%\pagebreak[3]

\item Definición y uso de variables simbólicas (se puede usar \verb|"| o~\verb|'|, y poner comas o no ponerlas):
\begin{verbatim}
var("alpha, x, y, z")              # Definimos alpha, x, y, z 
z = sqrt(7*x + y^5 - sin(alpha))   # (z no hacía falta)
show(z)     # (o jsmath(z))   ¡LaTeX se encarga de dar formato!
latex(z)    # Proporciona el código LaTeX
\end{verbatim}

%% NO: NO SE HACERLO
%\item Añadiendo \verb|;| los cálculos se efectúan, pero el resultado
%no se muestra en la pantalla:
%\begin{verbatim}
%w = (20*6 + 1962)^1000;
%\end{verbatim}

\item Sage permite operar con números complejos (\verb|i| o \verb|I| es la
unidad imaginaria):
\begin{verbatim}
(3+4*I)^10
e^(i*pi)      # Da iguar usar e o E
\end{verbatim}

\item Podemos definir expresiones simbólicas y manipularlas
(aquí, \verb|;| sirve para separar órdenes):
\begin{verbatim}
var('x'); p = (x+1)*(x-1)^2     # El * es importante
q = expand(p); q
\end{verbatim}

\item En este ejemplo, el camino inverso lo recorreríamos con
\begin{verbatim}
factor(q)
\end{verbatim}

\item Ahora, hallemos (numéricamente) una raíz de
\verb|q| que esté entre~\verb|0| y~\verb|3|:
\begin{verbatim}
find_root(q, 0, 3)
\end{verbatim}

\item Otro ejemplo de lo mismo:
\begin{verbatim}
var("theta")
find_root(cos(theta) == sin(theta)+1/5, 0, pi/2)
\end{verbatim}

%%% ESTO ES DE MATEMATICA. EN SAGE NO HAY NADA SIMILAR
%\item Al asignar, hay que distinguir entre \verb|=| (la expresión toma valor
%al dar su de\-fi\-ni\-ción) y \verb|:=| (la expresión toma valor cuando se usa).
%Véase la diferencia (aquí, \verb|;| sirve para separar órdenes):
%\begin{verbatim}
%a=3; b=7; x=a; y:=b; {x,y}
%a=2; b=4; {x,y}
%\end{verbatim}

\item Para conocer el tiempo empleado por Sage en efectuar un cálculo:
\begin{verbatim}
time is_prime(2^127-1)
time factor(2^128-1)
\end{verbatim}

\item Podemos librarnos de una asignación o definición previa mediante
\begin{verbatim}
reset("a")
reset()     # Reinicia todo Sage
\end{verbatim}

\item Así se define la función $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$:
\begin{verbatim}
f(x) = 1/(1+x^2)
\end{verbatim}

\item Y así se usa:
\begin{verbatim}
var("r"); [f(x), f(x+1), f(3), f(r)]
\end{verbatim}

%%% ESTO LO DEJA IGUAL:
%\item Usando \verb|simplify|, Sage simplifica
%expresiones mediante reglas algebraicas y trigonométricas:
%\begin{verbatim}
%simplify(1-f(x))
%\end{verbatim}

\item La orden \verb|diff| permite obtener la derivada (o derivadas parciales) de una función:
\begin{verbatim}
var("x,y")
diff(f(x))               # f la función definida antes
diff(sin(x^2), x, 4)     # Derivada cuarta
diff(x^2 + 17*y^2, y)    # También se puede usar derivative
\end{verbatim}

\item Así calcularíamos una primitiva de $f$:
\begin{verbatim}
integrate(f(x),x)        # Da igual usar integral o integrate
\end{verbatim}

\item La integral definida $\int_0^1 f(x)\,dx$ podemos evaluarla
exactamente (mediante la regla de Barrow, por ejemplo) o numéricamente
(mediante una fórmula de cuadratura):
\begin{verbatim}
var("x")
integral(x*sin(x^2), x)
show(integrate(x/(1-x^3))) 
integral(x/(x^2+1), x, 0, 1)
\end{verbatim}

\item También existe integración numérica, pero su sintaxis es diferente.
En la respuesta que se obtiene, el primer elemento es el resultado,
y el segundo una cota del error:
\begin{verbatim} 
integral(x*tan(x), x)
integral(x*tan(x), x,0,1)    # Lo devuelve sin hacer 
numerical_integral(x*tan(x), 0,1)
\end{verbatim}

%	\item Otros ejemplos interesantes respecto al comportamiento con integrales:
%	\begin{verbatim}
%	Integrate[E^(-x^2), x]
%	Integrate[E^(-x^2), {x, -Infinity, Infinity}]
%	N[Integrate[1/x^2, {x, -2, 1}]]
%	NIntegrate[1/x^2, {x, -2, 1}]
%	NIntegrate[Sin[x]/x, {x, 1, Infinity}]
%	NIntegrate[Sin[x]/x, {x, 1, Infinity}, Method -> Oscillatory]
%	Integrate[1/x, {x, -1, 1}, PrincipalValue -> True]
%	\end{verbatim}

%	\item A veces es un buen truco utilizar esto:
%	\begin{verbatim}
%	NIntegrate[Sin[x]/x, {x, -2, 2}]
%	h[x_] := Sin[x]/x; h[0.] = 1; NIntegrate[h[x], {x, -2, 2}]
%	\end{verbatim}

%\pagebreak[3]

\item Cálculo de límites:
\begin{verbatim}
limit(sin(x)/abs(x), x=0)    # Se da cuenta de que no existe
limit(sin(x)/abs(x), x=0, dir="minus")
limit(sin(x)/abs(x), x=0, dir="plus")
\end{verbatim}

\item Conoce la equivalencia de Stirling:
\begin{verbatim}
lim(factorial(x)*exp(x)/x^(x+1/2), x=oo)     # oo es lo mismo que infinity
\end{verbatim}

\item Las funciones se pueden definir a trozos:
\begin{verbatim}
g = Piecewise([[(-5,1),(1-x)/2], [(1,8),sqrt(x-1)]],x)
\end{verbatim}

%\pagebreak[4]

\item Para representar funciones disponemos del comando \verb|plot|:
\begin{verbatim}
plot(g)    #  o g.plot()
plot(cos(x^2), -5, 5, thickness=5, rgbcolor=(0.5,1,0.5), fill = 'axis')
plot(bessel_J(2,x,"maxima"), 0, 20)    # Funciona pero es muuuuuy lento
\end{verbatim}

%	sage: plot.options 
%	{'fillalpha': 0.5, 'detect_poles': False, 'plot_points': 200, 
%	'thickness': 1, 'adaptive_tolerance': 0.01, 'fillcolor': 'automatic', 
%	'alpha': 1, 'adaptive_recursion': 5, 'rgbcolor': (0, 0, 1), 'fill': 
%	None} 
%	sage: plot.options['rgbcolor'] = (0,0,0) 
%	sage: plot(sin) 
%	[outputs a black plot of sin] 

%\pagebreak[4]

\item Así se guarda un gráfico en el disco duro:
% En mi mac, "/Users/jvarona/dibujo.pdf"
\begin{verbatim}
save(plot(sin(x)/x, -5, 5), "ruta/dibujo.pdf")   # o plot(...).save("...")
\end{verbatim}

\item También podemos representar funciones en paramétricas,
gráficos en tres dimensiones, curvas de nivel\dots
\begin{verbatim}
automatic_names(true)    # Ya no necesitamos predefinir las variables (v. 4.3.1)
parametric_plot((cos(t),sin(t)), 0,2*pi).show(aspect_ratio=1, frame=true)
plot3d(4*x*exp(-x^2-y^2), (x,-2,2), (y,-2,2))
contour_plot(sin(x*y), (x,-3,3), (y,-3,3), contours=5, plot_points=80)
\end{verbatim}

\item Incluso funciones en implícitas en dos y tres dimensiones:
\begin{verbatim}
implicit_plot(sin(x*y) + sin(x)*sin(y) == 1, (x,-5,5), (y,-5,5))
implicit_plot3d(x^4 + y^4 + z^4 == 16, 
  (x, -2, 2), (y, -2, 2), (z, -2, 2), viewer='tachyon')
\end{verbatim}

\item Con \verb|+| se superponen gráficos:
\begin{verbatim} 
plot(2*t^2/3+t, 0, 6) + plot(3*t+20, 0, 6, rgbcolor='red') 
  + line([(0, 10), (6, 10)], rgbcolor='green')
\end{verbatim}

%	\item Cargando paquetes especializados (Mathematica incluye muchísimos)
%	aumentamos sus posibilidades gráficas:
%	\begin{verbatim}
%	<< Graphics`InequalityGraphics`
%	InequalityPlot[1 <= (x+2y)^2 + 4y^2 <= 4, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}]
%	\end{verbatim}

\item Podemos hacer animaciones:
\begin{verbatim}
onda = animate([sin(x+k) for k in srange(0,10,0.5)], xmin=0, xmax=8*pi)
onda.show(delay=30, iterations=1)
\end{verbatim}

\item Y gráficos interactivos:
\begin{verbatim}
f = sin(x)*e^(-x)
dibujof = plot(f,-1,5, thickness=2)
punto = point((0,f(x=0)), pointsize=80, rgbcolor=(1,0,0))
@interact
def _(orden=(1..12)):          # La variable de control 
  ft = f.taylor(x,0,orden)
  dibujotaylor = plot(ft,-1, 5, color="green", thickness=2)
  show(punto + dibujof + dibujotaylor, ymin = -.5, ymax = 1)
\end{verbatim}

\item Para buscar ayuda sobre un comando (especialmente, su sintaxis y ejemplos de uso),
basta poner \verb|?| tras el nombre del comando;
con \verb|??| se obtiene información más técnica (sobre el código fuente):
\begin{verbatim}
plot? 
numerical_integral??
\end{verbatim}

%	NO FUNCIONA:
%	\item El símbolo \verb|*| actúa como comodín:
%	\begin{verbatim}
%	complex*?
%	*trig*?
%	\end{verbatim}

\item También podemos buscar en la documentación:
\begin{verbatim}
search_doc("rgbcolor")
\end{verbatim}

\item La orden \verb|solve| sirve para resolver ecuaciones
(obsérvese que se emplea \verb|==|) o sistemas:
% Proporciona soluciones exactas (o, prácticamente, lo devuelve sin hacer).
% Lo de "automatic_names" lo implementaron en la versión 4.3.1 de Sage
\begin{verbatim}
solve(x^2-2 == 0, x)
f = x^4 + 2*x^3 - 4*x^2 - 2*x + 3
solve(f == 0, x, multiplicities=true)
soluciones = solve([9*x - y == 2, x^2 + 2*x*y + y == 7], x, y)
soluciones[0][0].rhs()   # Componente x de la primera solución
\end{verbatim}

%\pagebreak[3]

\item En la versión 4.3.1, Sage aún no sabe sumar series, pero se lo podemos pedir a Maxima:
\begin{verbatim}
sum(1/n^2 for n in (1..20))    # No sabe si en vez de 20 ponemos oo
maxima("sum(1/n^2,n,1,inf), simpsum")
\end{verbatim}

\item Las matrices y vectores se crean así:
\begin{verbatim}
A = matrix([[-4,1,0],[3,5,-2],[6,8,3]]);
B = identity_matrix(3)
v = vector([3,-2,8]); w = vector([-1,1,1])
H = matrix([[1/(i+j+1) for i in [0..2]] for j in [0..2]])
\end{verbatim}

\item Y con ellos se opera como sigue:
\begin{verbatim}
T = A^2*transpose(A) - 5*B - (1/20)*det(A)*exp(B)
v.dot_product(w)    # Producto escalar
H.inverse()         # También se puede usar ~H o H^(-1)
\end{verbatim}

\item El sistema de ecuaciones lineales $A x = w$ se resuelve con
(si se hace simbólico con parámetros, no estudia casos)
\begin{verbatim}
x = A\w
\end{verbatim}

\item Sage nos permite resolver ecuaciones diferenciales:
\begin{verbatim}
x = var("x"); y = function("y",x) 
desolve(diff(y,x,2)-2*diff(y,x)-3*y == exp(x)*sin(x),y)
desolve(diff(y,x) + 2*y - 8 == 0, y, ics=[3,5])  # Condición inicial y(3) = 5
desolvers?   # Más órdenes para resolver ecuaciones diferenciales (o sistemas)
\end{verbatim} % También: ode_solvers?
% Respuesta: k1*e^(3*x) + k2*e^(-x) - 1/5*e^x*sin(x)

%%% NO ENCUENTRO NINGÚN EJEMPLO NUMÉRICO FÁCIL USANDO scipy. 
%\item Resolución numérica de ecuaciones diferenciales mediante un método de Runge-Kutta:
\item También podemos resolverlas mediante métodos numéricos (p.e., con un Runge-Kutta):
\begin{verbatim}
y = function('y',x)
sol = desolve_rk4(diff(y,x)+y*(y-2) == x-3, y, ics=[1,2], step=0.1, end_points=8)
list_plot(sol, plotjoined=True, color="purple")
\end{verbatim}

\item Usando \verb|simplify|, Sage simplifica expresiones
(suele ser muy cuidadoso):
\begin{verbatim}
var("x"); sqrt(x^2)
sqrt(x^4)
simplify(_)    # Sigue sin hacer nada
assume(x>0); simplify(sqrt(x^2))   # Ya simplifica
\end{verbatim}
% sqrt(4, all=True)   # da 2 y -2
% sqrt(16, extend=True)    # da 4

\item También con expresiones trigonométricas:
\begin{verbatim}
sin(asin(y))  # Devuelve y
asin(sin(x))  # Lo devuelve "sin hacer"
simplify(_)   # Sigue sin hacer nada
assume(-pi/2 <= x <= pi/2); simplify(asin(sin(x)))
var('k t'); assume(k, 'integer'); simplify(sin(t+2*k*pi))
\end{verbatim}

\item Pero Sage a veces hace chapuzas:
\begin{verbatim}
find_root(x*exp(-x), 2, 100)
\end{verbatim}

\item Obsérvese también esto:
\begin{verbatim}
t=-40.0;    # Número real 
sum([t^n/factorial(n) for n in [0..300]])
t = -40     # Número entero 
N(sum([t^n/factorial(n) for n in [0..300]]))
\end{verbatim}
% Por defecto, no parece haber sumas numéricas

\item Un ejemplo que muestra un programita hecho en Python
(con \verb|"""..."""| ponemos la información que aparecerá al usar \verb|letraDelDNI?|):
\begin{verbatim}
def letraDelDNI(n):
    """
    Esta funcion calcula la letra de un DNI espanol
    """
    letras = "TRWAGMYFPDXBNJZSQVHLCKE"
    return letras[n%23]
letraDelDNI(12345678)
\end{verbatim}

\item Así se define una función de manera recursiva:
\begin{verbatim}
def f(n):
    if n <= 1: return 1
    elif n%2 == 0: return 2*f(n/2)
    else: return 3*f((n-1)/2)
f(12345678)
\end{verbatim}

%\item Así definiríamos el factorial de manera recursiva:
%\begin{verbatim}
%def fac(n):
%  if n==1:
%      return 1
%  else:
%      return n*fac(n-1)
% 
%for n in range(1,10):
%  print n,":",fac(n)
%  # print n,":",factorial(n)  # El predefinido en Sage
%\end{verbatim}

\item Concluyamos con otro programita, el test de Lucas-Lehmer 
(como $s$ está definido módulo $2^p-1$, las operaciones con $s$ también son modulares):
\begin{verbatim}
def is_prime_lucas_lehmer(p):
    s = Mod(4,2^p-1)           # ¡Definimos s como un entero modular!
    for i in range(0, p-2): 
        s = s^2 - 2 
    return s==0
is_prime_lucas_lehmer(127)         # Nos dice si 2^127-1 es primo (Lucas, 1876)
time is_prime_lucas_lehmer(19937)  # El mayor primo conocido en 1971
\end{verbatim}
% time is_prime_lucas_lehmer(19937)    # Mayor primo conocido en 1971
% Responde "True" en "Time: CPU 7.04 s, Wall: 7.05 s" en mi MacBook Pro 2.4 GHz Inter Core 2 Duo

\end{enumerate}

% \enlargethispage{0.5cm} %%% TRUCO

\end{document}